Dos preguntas antes de sintonizar nada
Sintonizar un controlador es lo último que se hace, no lo primero. Antes hay dos preguntas sobre la planta que no dependen del controlador que se vaya a poner, y que se contestan con álgebra:
- Controlabilidad: ¿puedo llevar el estado del sistema desde cualquier punto hasta cualquier otro, en tiempo finito, con las entradas que tengo? Es una pregunta sobre los actuadores.
- Observabilidad: ¿puedo deducir el estado completo observando la salida durante un rato? Es una pregunta sobre los sensores.
Las dos se responden formando una matriz y calculando su rango. Si el rango es igual al número de estados, la respuesta es sí. Si es menor, hay una parte del sistema que queda fuera de alcance — y ninguna sintonía lo arregla, porque el problema está en cómo se instrumentó la planta.
Estas dos preguntas se contestan sobre el modelo, en la fase de ingeniería, cuando todavía se puede mover un transmisor de sitio o añadir uno. Contestarlas después de la puesta en marcha significa contestarlas con el presupuesto gastado.
El caso: cinco tanques acoplados
El sistema es un tren de tanques comunicados, linealizado alrededor de su punto de operación. Cinco variables de estado —los niveles—, una entrada, que es el caudal de alimentación. Para simplificar el álgebra se asume que todos los tanques tienen la misma sección y la misma constante de válvula.
Con ese modelo, los dos rangos salen así:
Planta : tanques acoplados, modelo linealizado
Entrada : caudal de alimentación
Estados : 5
rank( matriz de controlabilidad ) = 5 -> controlable
rank( matriz de observabilidad ) = 4 -> NO observable
(una dependencia lineal)El primer resultado es tranquilizador: con un solo caudal de entrada se puede llevar el tren de tanques a cualquier configuración de niveles. El segundo es el interesante.
Qué significa «no observable» en planta
Rango 4 sobre 5 estados quiere decir que existe una combinación de niveles que no se distingue desde la salida. Dos situaciones internas distintas producen exactamente la misma lectura, para siempre, hagas lo que hagas con la entrada.
Es más fácil de ver con la intuición hidráulica: si la única medida disponible es el nivel del último tanque, y dos tanques intermedios están acoplados de forma simétrica, un poco de más en uno y un poco de menos en el otro se compensan aguas abajo. El sensor no lo ve. Nunca lo va a ver.
La consecuencia práctica es dura y conviene decirla claro: ningún observador puede reconstruir esa parte. No es un problema de sintonía del observador, ni de ruido, ni de calidad del sensor. Es información que no está en la salida.
Tres salidas, en orden de preferencia
1. Añadir un sensor
Es lo primero que hay que evaluar, y a menudo lo más barato a largo plazo. Un transmisor de nivel adicional en el tanque adecuado rompe la dependencia lineal y devuelve el rango completo. La pregunta correcta no es «¿pongo más sensores?» sino «¿dónde pongo el siguiente?», y a eso responde precisamente el análisis: la fila que falta en la matriz dice qué combinación no se está viendo.
2. Descomponer y trabajar sobre lo observable
Si el sensor no se puede poner —no hay acceso, no hay presupuesto, el fluido lo impide—, se recurre a la descomposición de Kalman: el sistema se separa en su parte observable y su parte no observable, y el observador se diseña sólo sobre la primera. Es lo que se hizo en este caso: se determinó el subsistema reconstruible, se obtuvo la matriz de transición por forma de Jordan y sobre él se montó el diseño.
El precio hay que asumirlo con los ojos abiertos: el control actúa sobre lo que se ve, y lo que no se ve queda a su suerte.
3. Comprobar la detectabilidad
Antes de dar nada por perdido conviene mirar qué es lo no observable. Si los modos que se escapan son estables —se apagan solos con el tiempo—, el sistema es detectable, y eso basta para la mayoría de los propósitos: esa parte del estado converge a cero por su cuenta y el error del observador también.
Si en cambio el modo no observable es inestable, no hay estrategia de control que salve el sistema con esa instrumentación. Ahí la conclusión de ingeniería es que la planta hay que reinstrumentarla, y cuanto antes se sepa, mejor.
El observador de Luenberger, en una línea
Un observador es una copia del modelo corriendo en paralelo al proceso real, corregida por la diferencia entre lo que mide el sensor y lo que la copia predice:
x̂′ = A·x̂ + B·u + L·(y − C·x̂)
El término entre paréntesis es el error de estimación visible. Si la copia acierta, vale cero y el observador se limita a simular. Si se desvía, la corrección tira de ella. Restando esta ecuación de la del sistema real se ve que el error de estimación evoluciona según (A − L·C): elegir L es elegir dónde están los polos de ese error.
Los polos del observador se ubican entre tres y cinco veces más rápidos que los del lazo de control. Más lento y el controlador actúa sobre información atrasada; mucho más rápido y el observador amplifica el ruido de medida, que es el precio que casi nadie menciona.
El principio de separación
Queda la pregunta incómoda: si el controlador actúa sobre un estado estimado y el observador estima con la entrada que genera el controlador, ambos se realimentan mutuamente. ¿No habría que diseñarlos a la vez?
En el caso lineal, no. El principio de separación dice que los polos del conjunto son exactamente la unión de los polos de A − BK —el lazo de control con estado perfecto— y los de A − LC —el error del observador. No se mezclan. Se pueden diseñar por separado y el resultado es el previsto.
Ese resultado es lo que hace que el método escale a plantas de decenas de estados. Y también conviene saber dónde deja de valer: en cuanto hay no linealidades apreciables, saturación de actuador o el modelo se aparta de la realidad, la separación es una aproximación y el conjunto hay que verificarlo entero, en simulación, con el actuador saturado y el ruido de medida puesto.
Lo que se lleva uno de esto
Tres ideas que valen para cualquier proceso, no sólo para tanques:
- El rango se calcula antes de sintonizar. Dos comandos y una tarde de trabajo dicen si el problema tiene solución con la instrumentación prevista.
- Un sensor menos no siempre es un ahorro. A veces es un lazo que nunca va a cerrar bien, y eso se paga cada día que la planta produce.
- Un observador sustituye sensores, pero no inventa información. Reconstruye lo que está implícito en la salida; lo que no llega a la salida no está.
Es la diferencia entre ajustar un PID por tanteo y saber, antes de tocar la planta, qué se puede exigir de ella.
¿Cuántos sensores necesita tu proceso?
Un análisis de observabilidad sobre el modelo dice qué variables hacen falta medir y cuáles se pueden reconstruir. Es un cálculo de días que a veces ahorra instrumentación durante años.
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